液晶割れしてしまったモニターは、砕け散る心配はほとんどありません。とはいえ細かい破片は落ちる可能性があるので、まずは布で包んだり箱に入れたりして防ぎましょう。自分で処分するなら、自治体の場合は対応しているかを確認する必要があります。
リサイクルセンターに依頼する場合は、日時の予約をしたうえで持ち込みになります。持ち込み時にはサイズに合ったリサイクル券が必要です。輸出業者に売れないかと考える人もいるかも知れませんが、液晶が割れてしまっている場合は買い取ってもらえません。
また、「なんでもOK」などの謳い文句を掲げている無料回収業者もいますが、実際のところ意外と条件はシビアです。基本的に古い型のものや壊れたものは回収してくれません。あやしげな業者も多いので、割れていても回収するといわれた場合は、安心のためにも証明書を発行してもらうのがおすすめです。